Continuous Time Fourier Transform

连续时间傅裡叶变换(Continuous Time Fourier Transform)

引言

傅裡叶变换试图将非週期信号也纳入到傅裡叶的体系中。对于非週期信号，可以看成是週期无限长的週期信号。当週期无限大时，傅裡叶级数的频率分量就变成了一个连续域。

非週期信号的表示：连续时间傅裡叶变换

首先以週期方波为例，即在一个週期内

若将其表示为傅裡叶级数，其傅裡叶级数的係数为

将其在频域图上画出来，并逐渐增大週期T就可以得到下图

可想而知，随著T的增大，频率越来越小，包络线裡面的频率越来越密集，最终形成一条连续的曲线。傅裡叶变换的工作就是要求出这条曲线，从而完成信号从时域到频域的转换。这就是对非週期信号建立傅裡叶级数表示的基本思想。

将$\tilde{x}(t)$看作是$x(t)$的一个週期，由于傅裡叶的级数表示是在一个週期内推出来的，所以对于非週期信号的一个週期，也有

由于非週期信号可以看成只有一个週期的信号，所以在週期之外，即$|t| > T/2$时，$x(t) = 0$，而在週期之内，$\tilde{x}(t) = x(t)$，则有

则可以得到

称$X(j\omega)$为$Ta_k$的包络。

再将$a_k = \frac{X(j\omega)}{T}$代入式1得

当$T\rightarrow \infty$时，$\tilde{x}(t)\rightarrow x(t),\omega_0\rightarrow 0$，因此$\omega_0$可以看作一个微分，而右端式子可以看作一个积分式。则有

而

这两式即称为一对傅裡叶变换对。式4.9是将信号从时域变换到频域，称为时域信号的傅裡叶变换。式4.8则是从频域变为时域，称为频域信号的傅裡叶逆变换。

在时域图上，横轴是时间t，纵轴则是由该时刻所有基本信号的线性组合。在频域图上，横轴是频率$\omega$，纵轴则是某一频率的基本信号的係数$a_k$。

可以看出，傅裡叶变换与週期信号的傅裡叶级数表示的结构还是很类似的。

傅裡叶变换的收敛

现研究用式4.8表示的$x(t)$和信号与实际的$x(t)$信号之间的误差。用$\hat{x}(t)$表示式4.8为

如果$x(t)$能量有限，即

则可以保证$X(j\omega)$是收敛的。

令$e(t) = \hat{x}(t) - x(t)$,则

如果$x(t)$能量有限，那么虽然$x(t)$与它的傅裡叶表示$\hat x(t)$在个别点上有明显的区别，但是在能量上没有任何区别

狄利赫利条件，这组条件保证$\hat x(t)$除了个别不连续点外，其它点上都等于$x(t)$。

• $x(t)$绝对可积

  $$\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt < \infty$$

• 在任何有限个区间内，x(t)只有有限个最大值和最小值

• 在任何有限区间内，x(t)有有限个不连续点，并且在每个不连续点的值都是有限的。

週期信号的傅裡叶变换

週期信号的傅裡叶变换可以由週期信号的傅裡叶级数表示构造。

首先构造一个信号$x(t)$，其傅裡叶变换$X(j\omega)$是一个面积为$2\pi$，频率为$\omega_0$的单位衝激。即

则此时信号$x(t)$可以看成一个非週期信号，则利用非週期信号的傅裡叶变换得

现在将$X(j\omega)$看成一组这样的基本信号的线性组合

则有

上式正是一个週期信号的傅裡叶级数表示。