複變函數積分
復積分的概念
複積分的概念
C為復平面上一段A到B的光滑曲線，若在A到B上取若干個小弧段。取$\delta$為這些小弧段中最長的一段，則當$\delta\rightarrow0$時，若和式$\sum_{k = 1}^nf(\zeta_k)\Delta z_k$存在，則稱這個和式為函數$f(z)$在A到B的積分。記為：
復積分的計算
定理：若C是復平面的光滑曲線，$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$在C上連續，則$f(z)$在C上可積，且有：
若曲線C的方程為
則上述定理可表示為：
這種計算積分的方法稱為數方程法。
一個非常重要的積分。
其中C是以a為中心，半徑為$\rho$的圓周，且規定C的方向為逆時針方向。
該積分說明積分值與路徑圓周的中心和半徑無關。
對於區域D，當某個人繞D的閉合曲線L行走時，若區域D總位於這個人的左側方向，則稱這個行走方向為L的正方向。
證明：首先非常重要的一點是對於圓周上的一點z，其參數方程可以表示為$z = a + \rho e^{i\theta}$。
因為對於$z = x + yi,a = x_0 + y_0i$，化為參數方程為$\begin{cases} x = x_0 + \rho cos\theta \\ y = y_0 + \rho sin\theta\end{cases}$
代入便可以得$z = a + \rho e^{i\theta}$
知道這一點就好，就非常好證明了，只要代入參數方程，將對z的積分化為對$\theta$的積分就好了。
這個積分後面比較重要，牢記牢記
復積分的基本性質
柯西積分定理
柯西積分定理回答了什麼樣的函數或者函數在什麼樣的條件下，積分值儘與積分的起點或終點有關，而與積分路徑無關。
柯西定理：函數f(z)在單連通區域D內解析，C為D內任意一條簡單閉曲線，則
證明：
先科普下格林公式：
設$f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$，則
由於f(z)在D內解析，所以u和v具有連續的一階偏導數，且滿足柯西-黎曼條件：
由格林公式：
由式3.4知
因此，若一個函數在區域D內解析，則其在區域D內的閉合路徑的積分為0。
而由於復積分有一條基本性質為：
因此對於任意一條閉合路徑，都可以將其截成兩條路徑， 這兩條路徑互為逆路徑，因此積分值互為相反數。而對於其中一條路徑，不管其路徑如何變化，都可以與另外一條路徑組成一條閉合路徑，而另一條路徑的積分值是固定不變且與本路徑積分值互為相反數的，因此可以說
若一個函數在區域D內解析，則其在區域D內的積分值與路徑無關。
注：一般不能把$\int_Cf(z)dz$表示成$\int_a^bf(z)dz$，因為不是所有的複變函數的積分都與路徑無關。
多連通區域的柯西積分定理
設有界多連通區域D由n+1條互不相交的簡單閉合曲線$C_i(0\le i\le n)$所圍成，其中$C_i(1\le i\le n)$中的每一條都在其餘各條的外部，又都位於$C_0$的內部。我們規定D的邊界C的正向是：當沿著曲線C前進時，區域D始終在曲線的左邊。因此區域D的邊界曲線C的正向可以看成是內部n+1個簡單曲線的正向之和。
對於上面的這樣一個多連通區域D，若f(z)在D內解析，則
或者說
證明：
將n條曲線$\gamma_i$將這n個不屬於D的區域的邊界曲線與$C_0$連接起來，則多連通區域就轉變為單連通區域。於是$C_i$和$\gamma_i$的積分和為零，由於所有的$\gamma_i$都走了一個來回，所以可以相互抵消，所以所有的$C_i$的積分和為0。
運用此定理，可以將不規則、難算的曲線積分轉換為規則的、易算的曲線積分。
解析函數的不定積分
設D是單連通區域，函數f(z)是D內的解析函數，由於f(z)沿D內任何一條光滑曲線的積分都只與起點和終點有關。因此，當起點$z_0$固定時，該積分就可以在D內定義一個以C的終點z為變量的單值函數，記作
定理：若f(z)在D內解析，則上式定義的函數在D內也解析，且$F(z)^{‘} = f(z)$
證明：
由於f(z)在D內解析，所以對於任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使當$|\zeta - z|<\delta$時，$|f(\zeta) - f(z)| < \varepsilon$，所以當$|\Delta z| < \delta$時，有
即
則F(z)稱為f(z)的一個原函數，f(z)所有原函數的集合稱為f(z)的定積分。
復函數積分中的牛頓-萊布尼茨公式
證明方法非常簡單，略。
柯西積分公式
柯西積分公式：設f(z)在簡單閉曲線C所圍成的區域D內解析，則對於D內任意一點z,有
這一公式說明，若f(z)的D內解析，在$\overline D$連續，則它在邊界上的值決定了D內任意一點的值。
證明：以z為中心，充分小的整數$\rho$為半徑作圓$C_{\rho}$：
則由多連通區域的柯西積分定理得
要證上式，只需證明
由於f(z)在D內解析，所以對於任意$\varepsilon > 0$，存在$\delta > 0$，使當$|\zeta - z| = \rho<\delta$時，$|f(\zeta) - f(z)| < \varepsilon$。
於是當$\rho < \delta$時，圓周上的點均滿足上述條件。
所以
平均值公式
這個公式標明解析函數在任意一個圓周$|z-z_0| = r$上的積分平均值等於它在圓心的值。
解析函数的高阶导数
应用柯西公式可以证明解析函数的一个重要性质，即解析函数的导数仍是解析函数。
柯西高阶导数公式：设函数f(z)在简单闭曲线C所围成的区域D内解析，在$\overline D = D + C$上连续，则f(z)在D内具有各阶导数，且
证明：先证n=1的情况下成立
先由柯西积分公式证得
于是
要想在n=1的情况下成立，则要使得右端的式子在$\Delta z \rightarrow 0$时为0.
将右端式子的各个元素都用最大值或最小值代替以求出该式的最大值。
如存在正数M使$|f(\zeta) \le M|$，以及存在d使得$|\zeta - z|\ge d$，取足够小的$|\Delta z|$使得$|\Delta z| < \frac d2$，则有
所以
易知上式在$|\Delta z| \rightarrow 0$时为0，即可以证明在n=1的情况下成立。
在n=k成立的情况下，可利用类似的方法证明n=k+1也成立。既可以利用数学归纳法证明此式。
Tip：将高阶导数公式与多连通领域的柯西积分定理一起使用有奇效。如当遇到需要使用此式的函数在区域D内存在奇点(多于1个)时，可以创造一个以奇点为圆心的圆作为积分路径，这样函数在相应区域就是解析的，就可以使用高阶导数公式了。
例：易知$|z| = r,r\ne1,2$，C为正向圆周，求
柯西不等式和刘维尔定理
利用高阶导数公式,可以得出关于导数模的一个估计式,称为柯西不等式。
柯西不等式：设函数f(z)在圆$|z-a|\le R$内解析，且$|f(z)|\le M$，则
证明：由高阶导数公式
如果f(z)在复平面上处处解析，则称它为整函数。由柯西不等式则可以推出刘维尔定理。
刘维尔定理：有界整函数一定恒等于常数
证明：设f(z)是有界整函数，即存在M>0，使对所有的z，$|f(z)|\le M$。设$z_0$为复平面上任意一点，R为任意正整数，f(z)在C：$|z-z_0|\le R$上解析，应用柯西不等式得
令$R\rightarrow+\infty$，得$|f^{‘}(z_0)| = 0$。由于$z_0$是任意的，所以f(z)为常数。